We present a beautiful interplay between combinatorial topology andhomological algebra for a class of monoids that arise naturally in algebraiccombinatorics. We explore several applications of this interplay. For instance,we provide a new interpretation of the Leray number of a clique complex interms of non-commutative algebra. R\'esum\'e. Nous pr\'esentons une magnifique interaction entre la topologiecombinatoire et l'alg\`ebre homologique d'une classe de mono\"ides qui figurentnaturellement dans la combinatoire alg\'ebrique. Nous explorons plusieursapplications de cette interaction. Par exemple, nous introduisons une nouvelleinterpr\'etation du nombre de Leray d'un complexe de clique en termes de ladimension globale d'une certaine alg\`ebre non commutative.
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